PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Tamaño de Muestra y el Principio Fundamental de Conteo

Como la muestra y el tamaño del evento es lo que usamos para encontrar probabilidades, es útil saber exactamente cuántas combinaciones o permutaciones son posibles. Esta es una forma de pensar en ello, usando el Principio Fundamental de Conteo, que dice que el número de resultados en un espacio muestral es el producto del número de resultados para cada elemento.

Empecemos con las permutaciones, cuando el orden importa. Supongamos que tenemos n objetos de donde escoger (n canicas en la bolsa, o ninvitados en una fiesta, por ejemplo).

·         La primera sacada tiene una opción de n objetos

·         Para cada uno de esos n objetos, existen n − 1 opciones para la segunda sacada. Usando el Principio Fundamental de Conteo, es significa que hay n• (n − 1) resultados para escoger dos cosas.

·         Ahora, para esos n • (n − 1) resultados, se puede tener una tercera opción de los n − 2 objetos que restan. Usando de nuevo el Principio Fundamental de Conteo, hay n • (n − 1) • (n − 2) resultados posibles para 3 sacadas.

¿Ves a dónde va esto? Nota que el último factor resta uno menos que el número total de objetos elegidos. Para encontrar el número de opciones para sacar el k-ésimo objeto, multiplica los resultados anteriores por n − (k − 1).  Otra forma de escribir n − (k − 1) es n − k + 1.

Permutaciones Cuando elegimos k de n objetos y el orden importa, el número de permutaciones es El símbolo "..." significa continuar de la misma manera. En este caso, significa que se continúe multiplicando por el siguiente número completo menor, por n – k + 1.

Para las combinaciones, el orden no importa. ¿Cómo cambia esto el número de resultados? El número de permutaciones que se vuelven la misma cuando el orden ya no importa es el número de maneras distintas de arreglar objetos en un grupo.

Piensa en un grupo de 3 letras. ABC. En una permutación, ABC y CAB son resultados distintos, pero en una combinación, estos resultados son el mismo. ¿Cuántas maneras diferentes hay de ordenar las letras A, B, y C? Es decir, ¿cuántas permutaciones hay para este grupo en particular?

ABC     ACB

BAC     BCA

CAB     CBA

Existen 6 maneras de ordenar estas letras. Lo que estamos haciendo es encontrando el número de permutaciones de 3 objetos cuando elegimos los 3 (n = 3 y k = 3). Entonces, usando la fórmula proporcionada arriba, existen 3 • 2 • 1 = 6 resultados. Que son los mismos que los resultados de la lista.

En el ejemplo de las canicas, teníamos 2 objetos en cada grupo, entonces para cada par de canicas, había 2 • 1, o 2, maneras de ordenarlas. Sólo necesitábamos una para cada par, por lo que el número de combinaciones ere el número de permutaciones dividido entre 2. En el ejemplo de las letras, como existen 6 maneras de ordenar 3 objetos, cuando encontramos las combinaciones de tres sólo necesitábamos una representativa para esas 6 formas. Podemos dividir el número de permutaciones entre 6 y obtener el número de combinaciones.

Esto es válido en general: Para encontrar el número de combinaciones de k objetos tomados de n objetos, dividir el número de permutaciones de escoger k de n objetos entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos.

Combinaciones Cuando escogemos k de n objetos en un orden que no importa, el número de combinaciones es el número de permutaciones para k de n objetos dividido entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos: