Principio de Probabilidad

Para indicar el grado de incertidumbre de un evento, ésta debe expresarse en términos numéricos; para ello se requiere conocer las reglas y operaciones de la probabilidad. Es así como, en esta primera unidad didáctica, se tratarán los principios básicos de Probabilidad.

Esta unidad se divide en tres (3) capítulos. Los dos primeros capítulos se centran en nociones básicas para el desarrollo completo del concepto de probabilidad. El primero de ellos introduce los términos básicos que se encuentran ligados al lenguaje estadístico y los fundamentos necesarios para el estudio de la teoría de la probabilidad. El segundo capítulo desarrolla la teoría del conteo y las técnicas para determinar el número de veces de ocurrencia de un evento. En el capítulo 3 se desarrolla el concepto de probabilidad y se examinan las diferentes interpretaciones que se tienen de ella, también se trata aquí los axiomas que satisfacen las probabilidades de cualquier experimento aleatorio, las reglas de adición y de multiplicación para probabilidades, la probabilidad condicional, la independencia de eventos y el Teorema de Bayes.

Ya que los eventos o sucesos son subconjuntos, entonces es posible usar las operaciones básicas de conjuntos^[1], tales como uniones, intersecciones y complementos, para formar otros eventos de interés, denominados eventos osucesos compuestos.

Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando  = Ø (A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos)

Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o S.

De manera análoga, decimos que:

• El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos.
• El suceso  se verifica cuando se verifican simultáneamente A y B.
• El suceso A´, contrario de A, se verifica cuando no se verifica A.
• Dos sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes no se verifican simultáneamente.

EJEMPLO 1.4:

En el experimento S = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:

A = "sacar un número par".

B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5".

C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6".

D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 ó 6".

F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3".

G = "obtener un múltiplo de 3".

• A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.
• C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.
• B y C son incompatibles, ya que  = Ø y complementarios, al cumplirse  = E.
• = "sacar un número par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.
• A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".
• B-D =  = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un número impar" = .

• C y F son incompatibles puesto que  = Ø.

Las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades:

Para describir las relaciones entre eventos se usan con frecuencia los diagramas. Estos bien pueden ser los denominados diagramas de Venn o los diagramas de árbol. A continuación se describen ambos tratamientos gráficos de los eventos de un espacio muestral determinado.

Los diagramas de Venn suelen emplearse para representar un espacio muestral y sus eventos. En la figura siguiente se contempla un espacio muestral S (los puntos dentro del rectángulo) y los eventos A, B y C como subconjuntos de este. Se representan diferentes diagramas de Venn, ilustrando varios eventos combinados.

Figura 1.1

Diagramas de Venn

(a) Espacio muestral S con los eventos A y B mutuamente excluyentes,  Ø.

(b) Intersección de los eventos A y B del espacio muestral S, .

(c) Complemento del evento A (A´ ) en el espacio muestral S.

(d) Evento .

(e) Evento

EJEMPLO 1.5:

Las orquídeas de un vivero, presentan las siguientes características:

		Tamaño de pétalo
		Grande	Pequeño
Color	Lila	40	4
	Blanca	2	3

Sean los eventos:

A: la orquídea es de pétalo grande.

B: la orquídea es de color lila.

Determine el número de muestras en ,  y . Represente con diagramas de Venn este espacio muestral y los eventos A y B. Indique el número de resultados en cada región del diagrama.

Observe que siempre es necesario describir el evento que se va a considerar dentro del espacio muestral.

De acuerdo a las características descritas, el evento  está formado por 40 orquídeas para las cuales el tamaño de pétalos es grande y son de color lila al mismo tiempo. El evento  contiene 7 orquídeas para las que sus pétalos son pequeños, independiente de su color. El evento  está conformado por 46 orquídeas en las que sus pétalos son grandes o su color es lila (o ambas características a la vez).

El siguiente diagrama de Venn representa dicho espacio muestral y los dos eventos A y B. Los números indican la cantidad de resultados en cada región del diagrama.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Tamaño de Muestra y el Principio Fundamental de Conteo

Como la muestra y el tamaño del evento es lo que usamos para encontrar probabilidades, es útil saber exactamente cuántas combinaciones o permutaciones son posibles. Esta es una forma de pensar en ello, usando el Principio Fundamental de Conteo, que dice que el número de resultados en un espacio muestral es el producto del número de resultados para cada elemento.

Empecemos con las permutaciones, cuando el orden importa. Supongamos que tenemos n objetos de donde escoger (n canicas en la bolsa, o ninvitados en una fiesta, por ejemplo).

·         La primera sacada tiene una opción de n objetos

·         Para cada uno de esos n objetos, existen n − 1 opciones para la segunda sacada. Usando el Principio Fundamental de Conteo, es significa que hay n• (n − 1) resultados para escoger dos cosas.

·         Ahora, para esos n • (n − 1) resultados, se puede tener una tercera opción de los n − 2 objetos que restan. Usando de nuevo el Principio Fundamental de Conteo, hay n • (n − 1) • (n − 2) resultados posibles para 3 sacadas.

¿Ves a dónde va esto? Nota que el último factor resta uno menos que el número total de objetos elegidos. Para encontrar el número de opciones para sacar el k-ésimo objeto, multiplica los resultados anteriores por n − (k − 1).  Otra forma de escribir n − (k − 1) es n − k + 1.

Permutaciones Cuando elegimos k de n objetos y el orden importa, el número de permutaciones es El símbolo "..." significa continuar de la misma manera. En este caso, significa que se continúe multiplicando por el siguiente número completo menor, por n – k + 1.

Para las combinaciones, el orden no importa. ¿Cómo cambia esto el número de resultados? El número de permutaciones que se vuelven la misma cuando el orden ya no importa es el número de maneras distintas de arreglar objetos en un grupo.

Piensa en un grupo de 3 letras. ABC. En una permutación, ABC y CAB son resultados distintos, pero en una combinación, estos resultados son el mismo. ¿Cuántas maneras diferentes hay de ordenar las letras A, B, y C? Es decir, ¿cuántas permutaciones hay para este grupo en particular?

ABC     ACB

BAC     BCA

CAB     CBA

Existen 6 maneras de ordenar estas letras. Lo que estamos haciendo es encontrando el número de permutaciones de 3 objetos cuando elegimos los 3 (n = 3 y k = 3). Entonces, usando la fórmula proporcionada arriba, existen 3 • 2 • 1 = 6 resultados. Que son los mismos que los resultados de la lista.

En el ejemplo de las canicas, teníamos 2 objetos en cada grupo, entonces para cada par de canicas, había 2 • 1, o 2, maneras de ordenarlas. Sólo necesitábamos una para cada par, por lo que el número de combinaciones ere el número de permutaciones dividido entre 2. En el ejemplo de las letras, como existen 6 maneras de ordenar 3 objetos, cuando encontramos las combinaciones de tres sólo necesitábamos una representativa para esas 6 formas. Podemos dividir el número de permutaciones entre 6 y obtener el número de combinaciones.

Esto es válido en general: Para encontrar el número de combinaciones de k objetos tomados de n objetos, dividir el número de permutaciones de escoger k de n objetos entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos.

Combinaciones Cuando escogemos k de n objetos en un orden que no importa, el número de combinaciones es el número de permutaciones para k de n objetos dividido entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos:

Teoria de conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia los conceptos de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas:números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

CONJUNTOS

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados(a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.