Tutorial

2 parcial

TEOREMA DE BAYES

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como P (Cara | 6).

MULTIPLICACION DE PROBABILIDAD

1. Regla de multiplicación de probabilidades
Si se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran todos ellos a la vez corresponde a la multiplicación de las probabilidades de cada uno de los eventos.
Ejemplos:
1. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?
La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro es:


2. Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones?
Si H representa el nacimiento de un hombre y M el de una mujer, tenemos los siguientes casos favorables:    HHM – HMH – MHH 
La probabilidad de cada uno de estos eventos es: 


 

REGLA GENERAL DE LA ADICION

REGLA DE LA SUMA

 Si   dos   eventos   A   y   B   son   mutuamente excluyentes,    esta    regla    indica    que    la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos,   es   igual   a   la   suma   de   sus probabilidades.

 P(A ó B) = P(A U B)

P(A U B) = P(A)+ P (B)

P(A ó B ó...ó Z) = P(A U B U...U Z)

P(A U B U...UZ)= P(A)+ P(B) +... P(Z)

REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN

Cuando   los   eventos   no   son   mutuamente excluyentes,  la  probabilidad  de  la  ocurrencia conjunta  de  los  dos  eventos,  se  resta  de  la suma   de   las   probabilidades   de   los   dos eventos.

P(A ó B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

 En   la   teoría   de   conjuntos,   la   ocurrencia conjunta hace referencia a la intersección, por lo tanto:

P(A y B) = P(A ∩B)

Entonces: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

EJERCICIO:

Se gira una ruleta que esta enumerada del 1 al 8. Contestemos lo siguiente:

1.- Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en...

a)    El número 5 o 7? 1/8+1/8=2/8

b)    Un número menor que 1 o 3?

c)    Un múltiplo de 2 o de 3?

d)    Un número impar o par?

PROBABILIDAD

Definición de probabilidad

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Ejemplo:

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplos:

Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplos:

Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar una moneda se obtenga 4.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Ejemplos:

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos:

Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Un ejemplo completo

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Principio de Probabilidad

Para indicar el grado de incertidumbre de un evento, ésta debe expresarse en términos numéricos; para ello se requiere conocer las reglas y operaciones de la probabilidad. Es así como, en esta primera unidad didáctica, se tratarán los principios básicos de Probabilidad.

Esta unidad se divide en tres (3) capítulos. Los dos primeros capítulos se centran en nociones básicas para el desarrollo completo del concepto de probabilidad. El primero de ellos introduce los términos básicos que se encuentran ligados al lenguaje estadístico y los fundamentos necesarios para el estudio de la teoría de la probabilidad. El segundo capítulo desarrolla la teoría del conteo y las técnicas para determinar el número de veces de ocurrencia de un evento. En el capítulo 3 se desarrolla el concepto de probabilidad y se examinan las diferentes interpretaciones que se tienen de ella, también se trata aquí los axiomas que satisfacen las probabilidades de cualquier experimento aleatorio, las reglas de adición y de multiplicación para probabilidades, la probabilidad condicional, la independencia de eventos y el Teorema de Bayes.

Ya que los eventos o sucesos son subconjuntos, entonces es posible usar las operaciones básicas de conjuntos^[1], tales como uniones, intersecciones y complementos, para formar otros eventos de interés, denominados eventos osucesos compuestos.

Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando  = Ø (A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos)

Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o S.

De manera análoga, decimos que:

• El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos.
• El suceso  se verifica cuando se verifican simultáneamente A y B.
• El suceso A´, contrario de A, se verifica cuando no se verifica A.
• Dos sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes no se verifican simultáneamente.

EJEMPLO 1.4:

En el experimento S = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:

A = "sacar un número par".

B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5".

C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6".

D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 ó 6".

F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3".

G = "obtener un múltiplo de 3".

• A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.
• C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.
• B y C son incompatibles, ya que  = Ø y complementarios, al cumplirse  = E.
• = "sacar un número par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.
• A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".
• B-D =  = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un número impar" = .

• C y F son incompatibles puesto que  = Ø.

Las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades:

Para describir las relaciones entre eventos se usan con frecuencia los diagramas. Estos bien pueden ser los denominados diagramas de Venn o los diagramas de árbol. A continuación se describen ambos tratamientos gráficos de los eventos de un espacio muestral determinado.

Los diagramas de Venn suelen emplearse para representar un espacio muestral y sus eventos. En la figura siguiente se contempla un espacio muestral S (los puntos dentro del rectángulo) y los eventos A, B y C como subconjuntos de este. Se representan diferentes diagramas de Venn, ilustrando varios eventos combinados.

Figura 1.1

Diagramas de Venn

(a) Espacio muestral S con los eventos A y B mutuamente excluyentes,  Ø.

(b) Intersección de los eventos A y B del espacio muestral S, .

(c) Complemento del evento A (A´ ) en el espacio muestral S.

(d) Evento .

(e) Evento

EJEMPLO 1.5:

Las orquídeas de un vivero, presentan las siguientes características:

		Tamaño de pétalo
		Grande	Pequeño
Color	Lila	40	4
	Blanca	2	3

Sean los eventos:

A: la orquídea es de pétalo grande.

B: la orquídea es de color lila.

Determine el número de muestras en ,  y . Represente con diagramas de Venn este espacio muestral y los eventos A y B. Indique el número de resultados en cada región del diagrama.

Observe que siempre es necesario describir el evento que se va a considerar dentro del espacio muestral.

De acuerdo a las características descritas, el evento  está formado por 40 orquídeas para las cuales el tamaño de pétalos es grande y son de color lila al mismo tiempo. El evento  contiene 7 orquídeas para las que sus pétalos son pequeños, independiente de su color. El evento  está conformado por 46 orquídeas en las que sus pétalos son grandes o su color es lila (o ambas características a la vez).

El siguiente diagrama de Venn representa dicho espacio muestral y los dos eventos A y B. Los números indican la cantidad de resultados en cada región del diagrama.